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de Physique ...Notions
de Physique ...
S'appuyant sur les
observations de Tycho-Brahé, Kepler a calculé, dès le début du XVIIème
siècle, les lois déterminant le mouvement des planètes. Ces lois s'appliquent
pour tout corps orbitant et donc également aux mouvements des satellites autour
des planètes.
Ce sont les lois de Képler, au nombre de trois:
1) Les orbites des
planètes sont des ellipses dont le soleil est un foyer.
(Les orbites des satellites sont des ellipses dont le
centre de la planète est un foyer)
2) Le rayon vecteur d'un planète balaie des aires égales en des temps égaux
(Loi des aires).
3) Les carrés des durées de révolution sont proportionnels aux cubes des
grands axes des ellipses décrites.
La loi des aires :
nb : le symbole flèche de direction
d'un vecteur est remplacé par un trait supérieur, ainsi que le symbole flèche
courbe du moment cinétique.. HTML limitation .. :-(...
Soit
O un point fixe de l'espace et un point matériel de masse m situé en M
à l'instant t. Posons OM=r.
A l'instant t + dt, le point matériel se trouve en M' tel que MM'
= dr
La résultante des forces appliquées au point matériel est supposée
passer par O. Ce point est donc soumis à un champ de forces centrales. Dans ces
conditions, le moment des forces par rapport à O est nul et le moment
cinétique s est
invariant.
s
= OM L
mv = r
L m dr
/dt= constante (1)
s
étant de direction fixe, le plan défini par OM
et v, normal à s,
est invariant. La trajectoire du point matériel est donc plane.
La relation (1) s'écrit : s
dt = m r L
dr
r L
dr est égal au
double de l'aire dS du triangle OMM'. On a donc :
dS/dt = s/2m
= 1/2C (2)
C est une
constante appelée constante des aires.
La quantité dS/dt est appelée vitesse aréolaire et est
aussi une constante.
En intégrant la relation (2), on obtient :
S = 1/2Ct
L'aire S balayée par le rayon vecteur OM est proportionnelle au temps. On dit que la trajectoire est parcourue selon la loi des aires.
MOUVEMENT D' UN POINT MATERIEL SOUMIS A UNE FORCE CENTRALE INVERSEMENT PROPORTIONNELLE AU CARRE DE LA DISTANCE
La loi
des aires prouve que le moment cinétique du satellite
par rapport à la planète, supposée fixe (on néglige la vitesse de
translation de la planète sur son orbite autour du soleil), est constant. Le
moment de la force exercée sur le satellite par rapport à la planète, est
donc nul.
Le satellite est donc soumis à une force dont le support passe par le centre de
la planète. Il s'agit d'une force centrale.
Soient a le demi-grand axe et b
l'autre demi-axe de l'ellipse, 2c la distance entre les foyers, e=c/a
l'excentricité de l'ellipse et p=b²/a=a(1-e²) le "paramètre" de
l'ellipse.
En prenant l'origine au foyer et le grand axe pour axe polaire, l'équation de
la trajectoire en coordonnées polaires s'écrit :
r = p/(1 + e cos Q)
|
Calculons
la force en utilisant la formule de Binet. Pour cela, calculons
(d²/dQ²)(1/r)
en dérivant deux fois 1/r
= (1 + cos Q)/p: On
obtient en reportant dans la formule de Binet :
|
FORMULE
DE BINET
La formule de Binet, qui n'est pas
démontrée ici, permet de calculer la force centrale connaissant la
trajectoire: f = - (mC²/r²) [ (d²/dQ²) (1/r) + (1/r) ] |
On utilise la
troisième loi de Kepler. Soit T la période de révolution du satellite sur son
orbite, l'aire de l'ellipse étant S = p
ab, la vitesse aréolaire, égale à la
moitié de la constante des aires "C" est :
dS/dt = p
ab/T = C/2
d'où C² = 4p²a²b² / T² = 4p²a3 b² / T² a = (4p²a3 / T²) p
Posons k = 4p²a3 / T², c'est une constante d'après la troisième loi de Kepler (a3/T² = Cte)
On obtient :
f = - k m / r²
La planète exerce sur ses satellites une force centrale attractive proportionnelle à l'inverse du carré de la distance.